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概要

振動積分を道具とし,Feynman経路積分の時間分割近似の収束を論じた本．特に停留位相法の剰余項に対し空間次元が限りなく大きくなっても有効な評価を与えることが議論の鍵である．ヒルベルト空間論，フーリエ積分論の初歩の知識を前提としているが，基本的には基礎知識を仮定しない．本文の議論に使われる技術的な事実は第II部の補遺にまとめて紹介し，読者の便をはかっている．細部まで省かず詳しく説明し，初学者にも配慮した明快な数学書．

第I部　ファインマン経路積分の時間分割近似の収束
第１章　ファインマン経路積分とは何か
　　１．１　問題の起こり
　　１．２　何が問題なのか
　　１．３　実例計算
第２章　作用積分の性質
　　２．１　変分法
　　２．２　古典起動の存在
　　２．３　作用関数
第３章　経路積分と振動積分
　　３．１　ファインマン経路積分の時間分割近似はどのようなものか
　　３．２　振動積分
　　３．３　停留位相法
第４章　ファインマン経路積分は収束する
　　４．１　振動積分としての経路積分の時間分割近似
　　４．２　主定理 分割Δを細かくするときの極限値の存在
第５章　経路積分の収束の証明
　　５．１　ヘッセ行列式の一性質
　　５．２　Lim|Δ|→0Ｄ(Δ;s',s,x,y)存在の証明
　　５．３　空間次元が限りなく大きくなる場合の停留位相法
　　５．４　I(Δ;ν,s',s,x,y)の収束の証明
　　５．５　Ｌ2(R)の作用素としての収束
第６章　シュレーディンガー方程式の基本解
　　６．１　ハミルトン-ヤコビ方程式と作用関数
　　６．２　輸送方程式とHesse行列式
　　６．３　シュレーディンガー方程式の基本解
　　６．４　ヤコビの微分作用素と　Morette-Van Vleck行列式
第７章　時間の経過が長い場合
　　７．１　時間の経過が長い場合について

第II部　補遺-実解析学からの準備
第８章　熊ﾉ郷-谷口の定理
　　８．１　熊ﾉ郷-谷口の定理
第９章　停留位相法再論
　　９．１　位相関数の停留点と停留値の性質
　　９．２　熊ﾉ郷-谷口の定理の有効範囲
　　９．３　停留位相法-精度を上げる
第１０章　大次元空間上での停留位相法
　　１０．１　大次元空間上での停留位相法の証明
　　１０．２　振幅が１である場合の大次元空間での停留位相法
第１１章　振動積分変換のＬ２有界性
　　１１．１　振動積分変換のＬ２有界性
第１２章　弱微分と超関数
　　１２．１　超関数の定義
　　１２．２　超関数の微分
　　１２．３　原始超関数
第１３章　アダマールの大域的逆関数定理の証明
第１４章　あとがき