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概要

代数的組合せ論は最近めざましく発展している新しい分野であるが，古くから研究が行われている数学の他の分野と全く同様に，ほとんど全ての数学の分野とかかわりをもち，それらと絡み合って本質的に深い数学の世界を創りだしている． 球面上の有限個の点の集合で「良い」性質を持つものとしてどのようなものがあるか？ という問題は，ギリシャ時代から色々と研究されてきた．そもそも何を良い性質とみ なしたら良いのであろうか？ また高次元球面の場合にはどうなるであろうか？ などの 素朴な問題から出発して，コード理論およびデザイン理論の2つの方向から，また，さらに一般に組合せ論，群論および表現論と関連させて，この種の問題を考えることが，この本の主題である． 本書の内容の最重要部分は，できる限り予備知識を必要としない書き方で付録としてまとめられ，はじめて学ぶ読者が概観する助けにもなっている． 球面上の代数的組合せ論の分野は数学的アマチュアリズムが存在できる貴重な数学的楽園であり，数学の専門家・非専門家を問わず，多くの人が楽しめる．本書はこの世界への絶好の入門書である．

第1章　調和多項式
　　　　調和多項式
　　　　球面上の調和多項式
　　　　球面上のs-距離集合
第2章　球面上の積分
　　　　球面上の積分
　　　　球面の面積
　　　　直交群上の積分
　　　　ガウスの公式
　　　　球面上の調和多項式の作る内積空間
第3章　球面上の調和解析
　　　　帯球関数とGegenbauer 多項式
　　　　直交多項式系
　　　　球面調和関数の空間の具体的な基底
　　　　Gegenbauer展開
第4章　球デザイン
　　　　球デザイン
　　　　球デザインに関するFisher 型の不等式
　　　　A-コードと(d, n, s, t)-配置
　　　　Seidelnikovの不等式
第5章　球デザインの例
　　　　球デザインの例
　　　　円周上の球デザイン
第6章　有限群の軌道として得られる球デザイン
　　　　有限群の軌道として得られる球デザイン
　　　　有限群のMolien級数と調和Molien級数
　　　　有限実鏡映群（有限コクセター群）の調和Molien級数
　　　　直交群のt- 均質な有限部分群
第7章　球デザインとアソシエーションスキーム
　　　　アソシエーションスキーム
　　　　堅い球デザインから作られるアソシエーションスキーム
第8章　堅い球デザインの分類問題
　　　　直交多項式のいくつかの性質
　　　　Gegenbauer多項式から作られる直交多項式の例
　　　　堅い球デザインの分類問題
第9章　剛的な球デザイン
　　　　剛的（rigid）な球デザインの定義
　　　　円周上の剛的なt-デザインの分類
　　　　諸定理
第10章　格子から得られる球デザイン
　　　　整数格子についての基礎知識
　　　　Venkovの定理
第11章　球デザイン，球コードと球の詰め込み
　　　　A-コード再論
　　　　接触球問題
第12章　球デザインの存在定理
　　　　区間デザインと一般化された平均値の定理
　　　　球デザインの存在定理
第13章　射影空間上の代数的組合せ論
　　　　積分作用素と球関数
　　　　微分作用素と球関数
　　　　射影空間上のデザイン
　　　　諸結果
第14章　ユークリッド空間上の代数的組合せ論
　　　　ユークリッド空間上のデザイン
　　　　同心球面上の多項式
　　　　ユークリッド空間上のs- 距離集合
　　　　重みつき集合の指数
　　　　ユークリッド空間上のデザインに関するFisher 型の不等式
第15章　球デザインの理論の種々の応用と最近の研究についての報告
　　　　解析学における近似理論との関係と求積公式
　　　　バナッハ空間の埋め込みの問題とWaring 問題
　　　　格子・2 次形式理論と球デザイン
　　　　アソシエーションスキームの球面への埋め込み
　　　　非ユークリッド空間上の代数的組合せ論
　　　　量子コード，グラスマン空間の詰め込み問題
付録A　球面上の組合せ論（高校生向け公開講座）
付録B　球面上の代数的組合せ論講義ノート